La ricerca si svolge in diverse direzioni nell’ambito della topologia (topologia generale e categorica, spazi di convergenza e spazi quasi-uniformi) e le sue relazioni con la teoria dei gruppi infiniti (gruppi topologici e loro dualità, la topologia di Zariski dei gruppi infiniti e le sue applicazioni). Ci soffermiamo nel seguito su tre esempi concreti.

La nozione di entropia topologica è stata introdotta per mappe continue di spazi compatti, ed in seguito generalizzata ad altri ambiti. Recentemente è molto studiata l’entropia topologica di azioni di gruppi amenabili. L’entropia algebrica per endomorfismi gruppali è una nozione duale rispetto a quella topologica e recentemente è stata studiata da molti autori in varie forme. In particolare la Formula di Yuzvinski permette di esprimere il famoso Problema di Lehmer in teoria dei numeri nei termini dei valori dell’entropia algebrica. Si studiano quindi l’entropia topologica e l’entropia algebrica, la loro relazione reciproca e con altri invarianti numerici, come la funzione scala di Willis, nell’ambito dei gruppi localmente compatti abeliani, sia per singoli endomorfismi sia nel caso di azioni di semigruppi amenabili. Inoltre il linguaggio dell’entropia algebrica permette di estendere la nozione di crescita dal classico ambito della teoria geometrica dei gruppi, in cui il famoso Problema di Milnor è stato risolto da Gromov e da Grigorchuk, al caso degli endomorfismi gruppali. L’interesse è dunque rivolto a comprendere la nuova nozione di crescita per endomorfismi gruppali seguendo la strada delineata dai risultati classici. Sempre nell’ambito della teoria geometrica dei gruppi, si studiano gli spazi coarse nel senso di John Roe.

La teoria dei sottogruppi caratterizzati dei gruppi abeliani topologici ha origine dallo studio del comportamento dinamico delle rotazioni del cerchio unitario T, ed è connessa a problemi di approssimazione diofantea (successioni uniformemente distribuite, successioni di Kronecker, frazioni continue) e con la teoria degli insiemi di convergenza delle serie trigonometriche in analisi armonica (Dirichlet sets, Arbault sets, ecc.). Un’altra motivazione per questa teoria viene dalla nozione di torsione topologica, introdotta nello studio della struttura dei gruppi localmente compatti abeliani. Molti risultati sono stati ottenuti da diversi autori in questo ambito, in collegamento anche con la teoria dei numeri, la teoria degli automata, ecc.; d’altra parte numerosi problemi sono ancora aperti, non ultimo la descrizione di tutti i sottogruppi caratterizzati di T. Si studiano quindi i sottogruppi caratterizzati dei gruppi topologici abeliani localmente compatti, con particolare interesse al caso fondamentale di T, anche in relazione ai Dirichlet sets.

Per il Teorema di Mackey ogni spazio vettoriale metrizzabile localmente convesso ammette la topologia di Mackey. In questa direzione si studiano i gruppi abeliani localmente quasi-convessi, che ammettono una topologia di Mackey, con particolare enfasi al caso metrizzabile e alla struttura algebrica del gruppo.