Il gruppo consta di due unità, ciascuna delle quali svolge anche un’attività di ricerca indipendente.

Il gruppo intende studiare quei problemi di teoria degli spazi di moduli delle curve algebriche spin o dotate di altre strutture, che sono formulabili anche per mezzo della teoria delle congruenze, con speciale riguardo a quelle lineari, delle Grassmanniane di rette o, più in generale, di sottovarietà di Fano in tali Grassmanniane.

Un caso che sarà affrontato è quello del complesso quadratico X. Lo spazio di Hilbert H delle rette di X è la Jacobiana A della curva di genere 2 costruita tramite il rivestimento doppio, ottenuto per mezzo della corrispondenza tra quadriche e famiglie di piani in esse contenute, del fascio di quadriche, aventi X come luogo base. La famiglia universale U di H è un rivestimento 4-a-1 di X, diramato sopra una sezione di X data da una ipersuperficie di grado 8 dello spazio proiettivo in cui X è naturalmente immerso. La generica curva razionale R di grado d contenuta in X è rivestita 4-a-1 da una curva C di genere 4d-3 contenuta in U. La proiezione naturale di U sopra A, induce un morfismo di C sopra una curva nodata M, i cui nodi sono in corrispondenza con le bisecanti di R. Inoltre, la corrispondenza indotta su C dalla relazione di incidenza tra le rette di X che incontrano R costruisce una corrispondenza I su C che, in questo caso, non è una theta-corrispondenza, come nei casi analoghi studiati da Mukai, Takagi, Zucconi ed altri.

Un problema interessante è appunto quello di chiarire la natura di tale corrispondenza I su C e di studiare l’applicazione razionale dallo schema di Hilbert delle curve razionali di grado d su X nello spazio dei moduli delle coppie (C, I), dove C è una curva tetragonale. Questa teoria appare nuova ed è comunque solo un aspetto particolare di una teoria più vasta. Infatti il complesso quadratico X può essere rimpiazzato da una qualsiasi varietà di Fano per il punto generale della quale passino 4 rette distinte.

Un altro esempio importante è dato dalla congruenza lineare ottenuta intersecando la Grassmanniana in IP^9 con 4 iperpiani di IP^9. In tal caso lo schema di Hilbert delle rette di Y è una varietà ben nota: il volume di Palatini. Per mezzo di un’analisi sistematica di tali situazioni, ci aspettiamo di costruire geometricamente luoghi altrimenti non facilmente visibili dello spazio dei moduli delle curve quadrigonali. Non riteniamo superfluo sottolineare in questa sede che il successo della nostra ricerca, che ammette passaggi assai ardui e che necessita di integrare competenze nuove anche per il gruppo e dislocate fuori dai confini nazionali ed europei, dipenderà in modo essenziale dal volume di finanziamento ricevuto dal gruppo nei prossimi anni.

Noi riteniamo che, oltre alla sua intrinseca bellezza, la costruzione sintetica di alcuni spazi di moduli di curve algebriche, usualmente ottenuti per via analitico-algebrica, per mezzo di strutture geometricamente elementari quali le curve razionali in varietà di Grassmann, possa, a tempo debito, risultare anche assai utile per risolvere dei problemi di calcolo meccanico ed effettivo su tali spazi di moduli; un problema comunemente riconosciuto tra quelli fondamentali per la geometria.