Docenti

• Prof. Dikran Dikranjan
• Prof. Aggr. Anna Giordano Bruno

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Crediti

12 CFU

Finalità

Introdurre lo studente alle strutture algebriche fondamentali,
come gruppi, anelli e campi e illustrare le connessioni con le altre
discipline quali geometria e analisi, in primo luogo.

Programma
Modulo 1

1. Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, spazi vettoriali.
2. Prime nozioni di teoria dei gruppi: gruppi e sottogruppi, periodo di un elemento.
3. Classi laterali di un sottogruppo, il teorema di Lagrange.
4. Sottogruppi normali, gruppo quoziente.
5. Omomorfismi, i teoremi di omomorfismo, il teorema di corrispondenza.
6. Prodotti diretti.
7. Gruppi ciclici, teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti.
8. Gruppi di permutazioni.
9. Il teorema di Cayley.
10. Il gruppo di quaternioni e il gruppo diedrale.
11. Gruppi di automorfismi.
12. L'equazione delle classi
13. I teoremi di Sylow.
Modulo 2
14. Prime nozioni di teoria degli anelli: sottoanelli e ideali (bilateri), congruenze e anello quoziente, omomorfismi, teorema di omomorfismo, prodotti diretti, anelli di matrici.
15. Il corpo dei quaternioni.
16. Ideali massimali e ideali primi di un anello commutativo. Teorema di Krull.
17. Domini d'integritˆ e campo di quozienti di un dominio d'integritˆ.
18. Anelli di polinomi su un campo: radici, teorema di Ruffini, algoritmo della divisione.
19. Elementi irriducibili e primi di un dominio d'integritˆ, domini a fattorizzazione unica, domini euclidei, domini principali.
20. Gli interi di Gauss.
21. Teoria dei campi - prime nozioni, campi finiti, radici dell'unità.
22. Polinomi irriducibili su un campo, fattorizzazione, polinomi irriducibili su Z e su Q, criterio di Eisenstein, polinomi ciclotomici.
23. Estensioni di un campo, elementi algebrici e trascendenti.
24. Campi algebricamente chiusi, numeri reali e complessi, polinomi irriducibili su R e su C.
25. Campi finiti.

Bibliografia

Costituiscono fonti di studio per l'esame:
D. Dikranjan, M.S. Lucido, Aritmetica e Algebra, Liguori Editore, 2007

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale.

Prova scritta: esercizi.
Prova orale: domande di verifica sulla teoria.