Docenti

Prof. Dikran Dikranjan dikran.dikranjan@uniud.itProf. Aggr. Anna Giordano Bruno anna.giordanobruno@uniud.it

Crediti

12 CFU

Finalità

Introdurre lo studente alle strutture algebriche fondamentali,
come gruppi, anelli e campi e illustrare le connessioni con le altre
discipline quali geometria e analisi, in primo luogo.

Programma

1. Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, spazi vettoriali.
2. Prime nozioni di teoria dei gruppi: gruppi e sottogruppi, periodo di un elemento.
3. Classi laterali di un sottogruppo, il teorema di Lagrange.
4. Sottogruppi normali, gruppo quoziente.
5. Omomorfismi, i teoremi di omomorfismo, il teorema di corrispondenza.
6. Prodotti diretti.
7. Gruppi ciclici, teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti.
8. Gruppi di permutazioni: decomposizione in cicli disgiunti.
9. Il teorema di Cayley. Il gruppo dei quaternioni e il gruppo diedrale.
10. Gruppi di automorfismi: coniugio, il gruppo di automorfismi dei gruppi ciclici.
11. L'equazione delle classi, I teoremi di Sylow.
12. Prime nozioni di teoria degli anelli: sottoanelli e ideali (bilateri), congruenze e anello quoziente, omomorfismi, teorema di omomorfismo, prodotti diretti, anelli di matrici.
13. Il corpo dei quaternioni.
14. Ideali massimali e ideali primi di un anello commutativo. Teorema di Krull.
15. Domini d'integritˆ e campo di quozienti di un dominio d'integritˆ.
16. Anelli di polinomi su un campo: radici, teorema di Ruffini, algoritmo della divisione.
17. Elementi irriducibili e primi di un dominio d'integritˆ, domini a fattorizzazione unica, domini euclidei, domini principali. Interi di Gauss.
18. Teoria dei campi - prime nozioni, campi finiti, radici dell'unitˆ.
19. Polinomi irriducibili su un campo, fattorizzazione, polinomi irriducibili su Z e su Q, criterio di Eisenstein, polinomi ciclotomici.
20. Estensioni di un campo, elementi algebrici e trascendenti.
21. Campi algebricamente chiusi, numeri reali e complessi, polinomi irriducibili su R e su C.
22. Campi finiti.

Bibliografia

testo principale: Aritmetica e Algebra (D. Dikranjan e M.S. Lucido, Liguori Editore, 2007)

Altri testi:

Algebra (Michael Artin, Editori Bollati Boringhieri, Torino 1997).
Elementi di Algebra (S. Franciosi, F. de Giovanni: Aracne Editrice 1992).
Esercizi di Algebra (S. Franciosi, F. de Giovanni) Aracne Editrice 1992.

Modalità d'esame

esame scritto e orale