Docenti

• Dott. Pietro De Poi
• Dott. Fabio Zuddas
  
  

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Crediti

12 CFU

Finalità

Il corso e` rivolto a studenti del 1 anno di Laurea Magistrale. Il corso consta di due parti che presentiamo separatamente.

Programma

Modulo 1

I numeri complessi. Le funzioni trigonometriche: seno e coseno. Il campo complesso; la sfera di Riemann. Coniugato di un numero complesso; argomentoprincipale; formula di Eulero; formula di de Moivre.

Serie di potenze nel campo complesso. Serie di potenze: raggio di convergenza, criterio di Cauchy-Hadamard. La serie esponenziale. Dimostrazione della formula di Eulero; esponenziale come omeomorsmo di gruppi topologici. Radici dell'unità; radici primitive dell'unità. Funzioni polinomiali e funzioni razionali; serie di Laurent.

Funzioni olomorfe.

Derivata complessa, funzioni olomorfe; relazione ed equazioni di Cauchy-Riemann; funzioni armoniche e funzioni armoniche coniugate; matrice jacobiana di una funzione olomorfa. Proprietà elementari delle funzioni olomorfe; funzioni rappresentabili mediante serie di potenze, funzioni analitiche. Le funzioni analitiche sono olomorfe; integrali e funzioni analitiche.

Integrazione su cammini. Curve in spazi topologici, curve chiuse, cammini e cammini chiusi. Integrale lungo un cammino; cammini equivalenti; cambio di orientazione; esempi fondamentali di cammini: circonferenza, segmento, triangolo.

Il teorema di Cauchy. Indice: l'indice è un intero. Richiamo al teorema della curva di Jordan; calcolo dell'indice p er circonferenze. Teorema di Cauchy per triangoli (Cauchy-Goursat). Le funzioni olomorfe sono analitiche: teorema di Cauchy per un insieme convesso; formula di Cauchy p er un insieme convesso; teorema di Morera.

Analiticità delle funzioni olomorfe.

Gli zeri di una funzione olomorfa non nulla sono discreti; ordine di una funzione in un punto; insieme degli zeri di una funzione. Due funzioni olomorfe che coincidono su un insieme con un punto di accumulazione nel dominio di definizione coincidono. Singolarità isolate; singolarità eliminabili, poli, singolarità essenziali. Identità di Parseval. Teorema di Liouville. Teorema del massimo modulo; teorema fondamentale dell'algebra. Teorema delle stime di Cauchy. Convergenza quasi uniforme di funzioni olomorfe.

Il teorema delle mappa aperta. Teorema di inversione locale olomorfo; funzioni potenze. Ogni funzione olomorfa a meno di una traslazione e un biolomorsmo, si può esprimere localmente come una potenza; teorema della mappa aperta; una funzione olomorfa iniettiva è un biolomorsmo.

Aperti semplicemente connessi. Catene, catene nulle e cicli dei piano complesso; aperti semplicemente connessi. Caratterizzazione degli aperti semplicemente connessi; cicli omologhi a zero; forma generale del teorema di Cauchy; forma generale della formula integrale di Cauchy.

I residui. Funzioni meromorfe; residuo di una funzione meromorfa in un suo polo.

Teorema dei residui; zeri di una funzione olomorfa; indicatore logaritmico; teorema di Rouché. Funzioni olomorfe in corone circolari; loro serie di Laurent. Teorema dei residui per singolarità isolate. Calcolo esplicito dei residui; esempi. Calcolo degli integrali impropri tramite i residui; esempi. Applicazioni del teorema di Rouché:

il teorema fondamentale dell'algebra; calcolo del numero di zeri di una regione;
esempi.

Introduzione alle superficie di Riemann. Funzioni olomorfe elementari: il logaritmo; l'esponenziale. La funzione valore principale del logaritmo; superficie di Riemann associata al logaritmo. Funzioni trigonometriche e iperboliche complesse e loro proprietà elementari. La sfera di Riemann come superficie di Riemann; funzioni razionali.

I Teoremi di Runge e Mittag-L­effler. Approssimazione di aperti tramite compatti. Formula integrale di Cauchy per compatti; approssimazione con funzioni razionali. Ripasso di analisi funzionale: teorema di Hahn-Banach e conseguenze; teorema di rappresentazione di Riesz. Teorema di approssimazione di Weierstrass. Teorema di Runge. Teorema di Mittag-Leffler.

Lemma di Schwarz. Principio del massimo; lemma di Schwarz; biolomorsmi del disco unitario. Conseguenze del lemma si Schwarz.

Il teorema della mappa di Riemann. Proprietà ulteriori dei semplicemente connessi: teorema di Cauchy, esistenza di una primitiva, logaritmo di una funzione, radice di una funzione. Esistenza di un omeomorsmo tra il piano complesso e il disco unitario. Conservazione degli angoli; mappe conformi. Trasformazioni lineari fratte e loro proprietà. Famiglie normali; richiamo al teorema di Ascoli-Arzelà.

Aperti conformemente equivalenti; il teorema della mappa di Riemann. Lemma di Hurwitz.

Modulo 2

-      Definizione di curva regolare, triedro di Frenet, curvatura e torsione e teorema fondamentale delle curve nello spazio

-      Definizione di superficie regolare, parametrizzazioni, cambi di coordinate, orientabilità

-      Mappa di Gauss, curvatura di Gauss e curvatura media, theorema egregium, superfici a curvatura di Gauss costante e superfici minime

-      Geodetiche, esponenziale, completezza

-      Trasporto parallelo

-      Definizione di varietà differenziabile, spazio tangente, immersioni, sommersioni, campi di vettori, bracket di campi

-      Connessioni affini, connessione di Levi Civita, curvatura sezionale e scalare, tensore di Ricci

-      Geodetiche su varietà, isometrie, varietà a curvatura scalare costante

Bibliografia

Modulo 1:
Costituiscono fonti di studio per l’esame:

Lars Ahlfors, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, 3rd ed. International Series in pure and applied Mathematics. Düsseldorf etc.: McGraw-Hill Book Company. xiv+331 p., 1979.

Walter Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed. New York, NY: McGraw-Hill. xiv+416p., 1987.

Modulo 2
Costituiscono fonti di studio per l’esame:

Do Carmo, “Differential geometry of curves and surfaces”

Do Carmo “Riemannian geometry”

Boothby “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”

Modalità d'esame

Modulo 1 : L’esame consiste in una prova scritta con esercizi, seguita da un esame orale.

Modulo 2:  L’esame consiste in una prova scritta e una prova orale. Prova scritta: esercizi.
Prova orale: domande di verifica sulla teoria