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Corso di laurea magistrale Matematica
INFORMAZIONI SU

Istituzioni di analisi superiore

Programma dell'insegnamento - Corso di laurea in Matematica Magistrale

 

Docenti

Indirizzo e-mail

hans.weber@uniud.it

gianluca.gorni@uniud.it

Indirizzo Pagina Web Personale
http://www.dimi.uniud.it/gorni/Istituzioni

http://www.dimi.uniud.it/members/hans.weber/

 

Crediti

12 CFU

Finalità

Modulo 1

Introdurre i concetti fondamentali della teoria della misura e dell'integrazione alla maniera di Lebesgue.

Modulo 2

Introdurre alcuni concetti fondamentali dell'Analisi Funzionale negli spazi di Banach e di Hilbert.

Programma

Modulo 1

  • Misure positive e segnate (estensione; decomposizioni di Hahn, di Jordan, di Lebesgue; prodotto di misure; teorema di Radon-Nikodym).
    Integrazione di funzioni reali rispetto ad una misura positiva sigma-additiva.Gli spazi L_p, in particolare il duale di L_p.
    Diversi tipi di convergenza per funzioni misurabili.

Modulo 2

  • Le proprietà di base degli spazi di Hilbert: prodotto scalare, minima distanza da un convesso, ortogonalità e decomposizione ortogonale, sistemi ortonormali, basi hilbertiane, proiezioni ortogonali.
  • Le serie di Fourier viste sull'asse reale e sul cerchio unitario: il sistema ortonormale trigonometrico e la sua completezza, l'espansione in serie di Fourier nel senso di L^2, il problema della convergenza puntuale delle ridotte; applicazione agli esempi concreti più importanti.
  • I teoremi fondamentali degli spazi di Banach: teorema di Baire, teorema dell'uniforme limitatezza, della mappa aperta, del grafico chiuso, di Banach-Steinhaus. Applicazioni alle serie di Fourier, alla teoria della misura e all'analisi convessa.

Bibliografia

Modulo 1

Walter Rudin, Real and Complex Analysis. Giuseppe De Marco, Analisi Due.

Modulo 2

Costituiscono fonti di studio per l’esame:

W. Rudin, Analisi Reale e Complessa. Boringhieri.

Giuseppe De Marco, Analisi Due, prima edizione, Decibel-Zanichelli. ISBN 88-08-01215-8.

 

Modalità d'esame

Costituiscono fonti di studio per l’esame:

dispense del docente

P.R. Halmos, Measure Theory

D.L. Cohn, Measure Theory

Modulo 1

L’esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.

Modulo 2

L’esame consiste nella dimostrazione orale di teoremi.