Docente

• Prof. Mario Mainardis
  
  

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https://users.dimi.uniud.it/~mario.mainardis/

Crediti

6 CFU

Programma

Programma di massima (può essere soggetto a cambiamenti)

Parte 1: Gruppi algebrici lineari

1. Concetti di base: Gruppi algebrici lineari e morfismi, esempi, Connessione e dimensione.
2. Decomposizione di Jordan: Decomposizione di endomorfismi, Gruppi Unipotenti
3. Gruppi algebrici lineari commutativi: Decomposizione di Jordan dei gruppi commutativi, Tori, caratteri e cocaratteri.
4. Gruppi risolubili connessi: Teorema di Lie-Kolchin, Struttura dei gruppi risolubili connessi.
5. G-spazi e quozienti: Azioni di gruppi algebrici, esistenza di rappresentazioni razionali.
6. Sottogruppi di Borel: Teorema del punto fisso di Borel, proprietà dei sottogruppi di Borel.
7. L’algebra di Lie di un gruppo algebrico lineare: Derivazionie differenziali, la rappresentazione aggiunta.
8. Struttura dei gruppi riduttivi: Decomposizione in spazi radice, gruppi semisemplici di rango 1, struttura dei gruppi riduttivi connessi, struttura dei gruppi semisemplici
9. Classificazione dei gruppi algebrici semisemplici: Sistemi di radici, teorema di Classificazione di Chevalley.

Parte 2: Sottogruppi dei gruppi algebrici semisemplici

1. Coppie BN e decomposizione di Bruhat: La struttura di B, la Decomposizione di Bruhat.
2. Struttura dei sottogruppi parabolici: Sottogruppi parabolici, decomposizione di Levi.
3. Sottogruppi di rango massimale: Sottogruppi associati ad un sottosistema, l’Algoritmo di Borel e de Siebenthal.
4. Centralizzanti e classi di coniugio: Elementi semisemplici, connessione dei centralizzanti.

Parte 3: Gruppi finiti di tipo Lie:

1. Endomorfismi di Steinberg: Endomorfismi di gruppi algebrici lineari, il Teorema di Lang-Steinberg.
2. Classificazione dei gruppi finiti di tipo Lie: Endomorfismi di Steinberg, il gruppi finiti G^F.
3. Gruppi di Weyl, sistemi di radici e sottogruppi radice.
4. Una coppia BN per G^F: Decomposizione di Bruhat, coppie BN semplicità ed automorfismi.
5. Tori e sottogruppi di Sylow: Tori F-stabili, Sottogruppi di Sylow.
6. Sottogruppi di rango massimale: Sottogruppi parabolici e sottogruppi di Levi, classi di coniugio semisemplici.

Bibliografia

Costituiscono fonti di studio per l’esame:

1) G. Malle, D. Testerman Linear Algebraic Groups and Finite Groups of Lie Type, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 133, Cambridge University Press 2011.  (consigliato).

2) R. W. Carter, Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons, London 1972.

3) D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3, Mathematical Surveys and Monographs, 40, American Mathematical Society, Providence, R.I>, 1998.

5) M. Mainardis, Appunti di Teoria dei Gruppi, scaricabile dal sito:

https://users.dimi.uniud.it/~mario.mainardis/LIBRO02.pdf

Modalità d'esame

L’esame consiste in: Prova orale su appuntamento.