Docente

• Prof. Elio Cabib

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Crediti

6 CFU

Finalità e obbiettivi formativi

Scopo del corso è avviare gradualmente gli studenti allo studio del Calcolo delle Variazioni che è la disciplina dell'Analisi Matematica che si occupa dei problemi di estremo, massimi e minimi locali e assoluti, dei funzionali integrali, i quali possono rappresentare dei costi di vario tipo, energie ecc..

Il primo approccio comporta una presentazione informale di alcuni problemi variazionali concreti, che possono avere motivazioni fisiche, geometriche o di vario tipo, di rilevanza storica e non, che cercheremo di risolvere con gli strumenti elementari dell'Analisi Matematica che gli studenti hanno acquisito nei corsi di base. Per la loro formulazione verranno quindi scelti spazi di funzioni regolari, maggiormente in una sola variabile, a cui gli studenti sono già abituati, ma verranno subito messi in evidenza anche i limiti strutturali che tali spazi possono presentare, in modo da orientarli ben presto verso l'idea che per ogni problema è opportuno munirsi dello spazio più appropriato dal punto di vista della buona formulazione. Dovremo quindi definire nuovi spazi, come le funzioni assolutamente continue e quelle a variazione limitata, illustrarne le proprietà fondamentali e passare gradualmente agli spazi di Sobolev. Inevitabilmente parte del corso sarà quindi dedicata all'Analisi Funzionale. Con questi strumenti sarà possibile mettere pienamente a frutto la risorsa fondamentale di questa disciplina che consiste nell'applicazione del metodo diretto per provare l'esistenza di soluzioni. Parallelamente, passando per le equazioni di Eulero-Lagrange, si studierà la versione differenziale dei problemi variazionali che assume in genere la forma di un'equazione ordinaria o alle derivate parziali cui vengono associati dati al bordo di vario tipo.

Programma

Presentazione informale di alcuni problemi variazionali in una variabile, il ruolo della convessità, l’equazione di Eulero. Cenni sulle equazioni alle derivate parziali con condizioni varie, al contorno e/o iniziali, il Problema di Dirichlet per l'operatore di Laplace, teoria classica, esempi con soluzioni esplicite. Formulazione variazionale, il metodo diretto per il problema di Dirichlet, problemi non lineari, l’equazione di Eulero nella sua forma più generale, il problema di Plateau, formulazione negli spazi di Sobolev, cenni al problema della regolarità. Omogeneizzazione e G-convergenza nella teoria variazionale dei materiali compositi, il caso unidimensionale, esempi vari, le stime elementari, le stime ottimali per compositi a due fasi, omogeneizzazione piana, il caso della scacchiera, la topologia della G-convergenza. Possibili sviluppi sulle disequazioni variazionali in presenza di vincoli unilaterali, sui problemi variazionali vettoriali, sulla teoria della Γ-convergenza, in particolare sui problemi asintotici e la riduzione dimensionale in elasticità.

Bibliografia

G. Buttazzo, Semicontinuity, Relaxation and Integral Representation in the Calculus of Variations, Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman, 1989.

B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer-Verlag, Berlin, 1989.

G. Dal Maso, Problemi di Semicontinuità e Rilassamento nel Calcolo delle Variazioni, Quaderni dell’Unione Matematica Italiana 39, Pitagora Editrice, Bologna, 1995.

E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994.

M. Miranda, Superfici Minime e il problema di Plateau, Quaderno 1/2006, Università di Lecce – Coordinamento SIBA

G. Talenti, Calcolo delle variazioni, Quaderni dell’Unione Matematica Italiana 2, Pitagora Editrice, Bologna, 1977.

J.L. Troutman, Variational Calculus with Elementary Convexity, Springer, 1983.
W. Velte, P. Villaggio, Are the optimum problems in structural design well posed?, Arch. Rat. Mech. Anal., 78, 199-211, 1982.

Modalità d'esame

L'esame consiste di una prova orale sulla materia trattata durante il corso o, a scelta del candidato, di un seminario su un argomento di Calcolo delle Variazioni concordato con il docente. Anche nel secondo caso è opportuno che il candidato conosca almeno le questioni principali svolte a lezione.