Docente

Prof. Dikran Dikranjan dikran.dikranjan@uniud.it

Crediti

6 CFU

Finalità

Introdurre lo studente ai gruppi topologici, con maggior
attenzione ai gruppi compatti e localmente compatti, la dualità
di Pontryagin - van Kampen e le sue applicazioni.

Programma

1. Richiami di algebra e della topologia generale: gruppi e spazi vettoriali
(base, dimensione), gruppi abeliani finitamente generati; metriche, assiomi
di separazione, compattezza e connessione. I gruppi dei numeri p-adici.
2. Invarianti cardinali dei gruppi abeliani: gruppi abeliani liberi e rango libero; gruppi abeliani divisibili, p-rango.
3. Introduzione del concetto di gruppo topologico e prime proprità. Esempi: la topologia profinita, topologia generate da caratteri, la topolgia di Bohr.
4. Sottogruppi e prodotti diretti di gruppi topologici. Il gruppo quoziente e teorema dell'omomorfismo per i gruppi topologici. Teorema di Frobenius e sue applicazioni.
5. Norme e metriche. Il teorema di metrizzazione di Birkhoff-Kakutani.
6. Gruppi connessi, componente connessa di un gruppo topologico.
7. I sottogruppi chiusi di R^n, il toro di dimensione n.
8. Invarianti cardinali dei gruppi topologici: peso, densità, carattere, e pseudocarattere.
9. Gruppi completi e completamento di un gruppo topologico (seminario).
10. Gruppi localmente compatti, teoremi della mappa aperta.
11. Teorema di Peter-Weyl per i gruppi compatti abeliani.
12. Teorema di Kakutani.
13. Insiemi grandi in un gruppo, topologie precompatte e loro descrizione.
14. Il gruppo duale di un gruppo localmente compatto abeliano.
15. Teorema di dualità di Pontryagin nel caso compatto/discreto.
16. Struttura del gruppi localmente compatti abeliani.
17. Teorema di dualità di Pontryagin nel caso localmente compatto.
18. Topologie gruppali determinati da successioni convergenti.
19. Misura di Haar di un gruppo compatto.
20. Costruzione dell'integrale di Haar dei gruppi localmente compatti abeliani usando il teorema di Prodanov.
21. La topologia della convergenza puntuale del gruppo delle permutazioni infinito.
22. Teorema di Foelner.
23. Corollari del teorema di Foelner: descrizione dei gruppi precompatti mediante charatteri continui, il peso di una topologia generata da caratteri.
24. Teoremi di approssimazione mediante combinazioni lineari di caratteri.

Bibliografia

testo principale: Appunti del docente
http://users.dimi.uniud.it/~dikran.dikranjan/ITG.pdf
http://users.dimi.uniud.it/~dikran.dikranjan/CT.pdf

Altri testi:

1. D. Dikranjan, Iv. Prodanov e L. Stoyanov, Topological Groups, Marcel Dekker Inc., New York-Basel, 1989.

2. Ryszard Engelking, General Topology, Helderman Verlag, Berlin. 1989.

3. J. Kelley, General Topology. D. Van Nostrand Company, New York 1959.

4. A. Orsatti, Introduzione ai gruppi abeliani astratti e topologici, Quaderni dell'Unione Mat.Italiana, Pitagora Ed., Bologna, 1979.

Modalità d'esame

esame orale e seminari