Docente

Prof. Elio Cabib elio.cabib@uniud.it

Crediti

6 CFU

Finalità

Con questo corso si cerca di avviare gradualmente gli studenti verso lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico dal punto di vista variazionale. Nella prima parte verranno illustrati numerosi esempi di problemi concreti, di natura fisica, geometrica, con rilevanza storica o meno, formulati in modo da poter essere risolti con gli strumenti dell'Analisi Matematica che hanno a disposizione. Allo stesso tempo, d'altra parte, mettiamo anche in evidenza le eccessive restrizioni che le formulazioni classiche dei problemi pongono. Cercheremo allora di rimuoverle mostrando come in spazi più ampi e con strumenti più avanzati gli stessi problemi, insieme ad altri, possano essere formulati in modo da poter spiegare l'esistenza di soluzioni in modo più convincente e allo stesso tempo più naturale dal punto di vista fisico.

Programma

Presentazione informale di alcuni problemi variazionali in una variabile, il ruolo della convessità, l’equazione di Eulero. Cenni sulle equazioni alle derivate parziali con condizioni varie, al contorno e/o iniziali, il Problema di Dirichlet, esempi con soluzioni esplicite. Formulazione variazionale, il metodo diretto per il problema di Dirichlet, problemi non lineari, l’equazione di Eulero nella sua forma più generale, formulazione negli spazi di Sobolev, cenni al problema della regolarità. Omogeneizzazione e G-convergenza nella teoria variazionale dei materiali compositi, il caso unidimensionale, esempi vari, le stime elementari, le stime ottimali per compositi a due fasi, omogeneizzazione piana, il caso della scacchiera, la topologia della G-convergenza. Problemi di riduzione dimensionale in elasticità.

Bibliografia

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Modalità d'esame

L'esame consiste di un seminario su un argomento concordato con il candidato che sia in tema col programma del corso, lo studente deve dimostrare di conoscere anche le questioni principali svolte a lezione.