Docente

Prof. Dikran Dikranjan

Crediti

6 CFU

Finalità

Introdurre lo studente alle strutture topologiche fondamentali,
come spazi metrici e spazi topologici, lo spazio delle funzioni, lo spettro di
un anello commutativo, lo spazio di Stone; illustrare le connessioni con le
altre discipline quali logica, algebra, geometria, analisi, informatica e sistemi
dinamici.
 

Programma

1. Introduzione di una topologia (tramite insiemi aperti, insiemi chiusi, intorni, chiusura).
2. Topologia di Tychonov di un prodotto diretto arbitrario di spazi topologici.
3. Topologia quoziente.
4. Metriche e spazi metrici.
5. Complettezza e completamento di uno spazio metrico.
6. Teorema di Banach del punto fisso, Teorema di Cantor, Teorema di Lebesgue e Teorema di Baire delle categorie.
7. Funzioni ed applicazioni continue.
8. Base di uno spazio topologico. Spazi di Lindeloff, spazi separabili.
9. Assiomi di separazione.
10. Topologie indotte da ordini parziali (topologia di Alexandrov-Tucker).
11. Invarianti cardinali degli spazi topologici (peso, caratteristica).
12. Teorema di Tichonov dell'immersione in cubi di Tichonov.
13. Spazi normali, lemmi di Urysohn, teorema di Urysohn-Titze.
14. Compattezza e le sue forme equivalenti.
15. Compattezza numerabile, compattezza locale, pseudocompattezza, paracompattezza.
16. Teorema di Stone e teorema di Nagata-Smirnov-Bing di metrizzazione degli spazi topologici.
17. Compattificazioni: compattificazione di Stone-Cech e la compattificazione di Alexandrov di uno spazio localmente compatto.
18. Spazi topologici connessi.
19. Lo spazio delle componenti connesse, lo spazio di Bing.
20. Spazi di funzioni. Teorema di Ascoli.
21. Categorie e funtori, dualitˆ di Stone, spettro di un anello commutativo, topologia di Zariski.
22. Elementi delle dinamica topologica: entropia topologica e teorema di ricorrenza di Birkhoff.
 

Bibliografia

testo principale: Appunti del docente
http://users.dimi.uniud.it/~dikran.dikranjan/SpazTop.pdf
http://users.dimi.uniud.it/~dikran.dikranjan/ComplTop.pdf

Altri testi:

Appunti di Karl H. Hofmann (Tulain University, New Orleans), http://129.81.170.14/~khh/Lagniappe/top.pdf.

Altri testi: 1. Ryszard Engelking, General Topology, Helderman Verlag, Berlin. 1989.

2. J. Kelley, General Topology. D. Van Nostrand Company, New York 1959.
 

Modalità d'esame

esame orale e seminari