Docente

Prof. Lorenzo Freddi lorenzo.freddi@uniud.it http://www.dimi.uniud.it/freddi

Crediti

6 CFU

Finalità

Scopo del corso è quello di introdurre alcuni temi avanzati di analisi matematica che possono spaziare dall'analisi nonlineare all'analisi funzionale, al calcolo delle variazioni.
Data la vastità dei temi previsti, si sceglierà un argomento da approfondire di volta in volta tenendo conto anche degli interessi specifici degli studenti che seguiranno il corso e se ne esporranno alcuni sviluppi in vista anche di orientare gli interessati verso possibili problemi di ricerca attuale.
Si prevede quindi, se possibile, di cambiare il programma nel corso degli anni, in modo che possano essere presentate in tempi successivi varie diverse tematiche relative all'analisi moderna.

Programma

Presentazione informale di alcuni problemi di minimo: forma generale di un problema di minimo; problemi del Calcolo delle Variazioni; problemi isoperimetrici; problema delle geodetiche; problema della brachistocrona; problema di Fermat; problemi di conduzione termica o elettrica; deformazione di un corpo elastico.

Funzioni semicontinue:funzioni globalmente e puntualmente semicontinue; inviluppo semicontinuo inferiormente; semicontinuità sequenziale ed equivalenza con la semicontinuità topologica nel caso degli spazi soddisfacenti al primo assioma di numerabilità; estremo superiore, inferiore e somma di funzioni semicontinue inferiormente.

Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni: generalizzazioni del teorema di Weierstrass; teorema di Tonelli (versione topologica e sequenziale).

Approssimazioni regolari di funzioni sommabili: teorema di Lusin; approssimazione di funzioni sommabili con funzioni continue a supporto compatto; teorema di derivazione sotto il segno di integrale di Lebesgue; funzioni localmente sommabili; prodotto di convoluzione e sue proprietà; regolarizzazione per convoluzione.

Distribuzioni: lo spazio delle funzioni test: definizione, convergenza e non metrizzabilità; lo spazio delle distribuzioni, lo spazio delle funzioni localmente sommabili come sottospazio dello spazio delle distribuzioni; la distribuzione di Dirac, misure di Radon come distribuzioni; teorema di caratterizzazione delle distribuzioni; convergenza debole di distribuzioni; derivata di una distribuzione e sue proprietà; formula di Liebniz di derivazione del prodotto; prodotto di una distribuzione con una funzione liscia.

Spazi di Sobolev: definizioni e proprietà topologiche; funzioni con traccia nulla sul bordo; duali degli spazi di Sobolev e loro caratterizzazione; approssimazione con funzioni regolari: teorema di Meyers e Serrin; aperti regolari e teoremi di immersione; teorema e formula fondamentale del calcolo per l'integrale di Lebesgue; convergenza debole negli spazi di Sobolev; traccia sul bordo di funzioni di Sobolev; disuguaglianza di Poincare' e sue generalizzazioni; applicazione al problema di minimo per l'integrale di Dirichlet.

Funzionali integrali: condizioni sufficienti di coercività; teorema di semicontinuità per integrande convesse; teorema di semicontinuità di De Giorgi - Ioffe (solo enunciato); problema di Dirichlet, problema di Neumann ed equazioni di Eulero; problemi con vincoli e moltiplicatori di Lagrange; esempi di problemi di minimo: fluidi rotanti, esempio di Bolza, problemi isoperimetrici, fili elastici e alcuni problemi non coercivi

Gamma-convergenza: Gamma-convergenza negli spazi metrici: definizione e prime proprietà; proprietà variazionale; molle e fili elastici: un problema di passaggio dal discreto al continuo.

Bibliografia

Verranno indicati di volta in volta i testi seguiti in base al programma specifico svolto.
Verrà fornito inoltre direttamente il materiale utile alla preparazione dell'esame (sotto forma di note, articoli, ecc.) quando questo non sia di facile reperibilità.

Modalità d'esame

L'esame consta della sola prova orale.