Docente

prof. Sebastiano SONEGO

Crediti

6 CFU

Obiettivi formativi specifici

Familiarizzare lo studente con l'algebra e l'analisi vettoriale, i sistemi di equazioni differenziali lineari, i concetti fondamentali e le principali tecniche risolutive dei problemi relativi alle equazioni differenziali alle derivate parziali.  Vengono inoltre acquisite competenze relative a funzioni speciali e ai concetti di base dell'analisi funzionale.

Competenze acquisite

- Algebra e analisi vettoriale.
- Sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie.
- Equazioni della fisica matematica.
- Formulazione e risoluzione di problemi per le equazioni differenziali alle derivate parziali.
- Funzioni speciali.
- Concetti di base dell'analisi funzionale

Programma

Algebra vettoriale: prodotto scalare e vettoriale; simboli di Kronecker e di Levi-Civita; identita` vettoriali (3 ore).
Analisi vettoriale in tre dimensioni: campi scalari e vettoriali; derivata direzionale e gradiente; operatori differenziali vettoriali; identità di analisi vettoriale; deduzione dell’equazione d’onda dalle equazioni di Maxwell; teoremi di Gauss e di Stokes; cambiamenti di coordinate; coordinate curvilinee ortogonali (8 ore).
Sistemi lineari con un numero finito di gradi di libertà: oscillatore armonico; oscillatori accoppiati; modi normali e frequenze normali; sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, autovalori, autovettori e soluzione generale; sistema di N oscillatori accoppiati (9 ore).
Equazioni lineari alle derivate parziali: limite continuo; equazioni d’onda e di diffusione; equazioni lineari alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili indipendenti, classificazione e forme canoniche (4 ore).
Equazione d'onda in una variabile spaziale: separazione delle variabili; modi normali; problema ai valori iniziali e soluzione generale; riflessione; risoluzione di problemi con condizioni ai bordi non omogenee; problemi ben posti (7 ore).
Cenni di analisi funzionale: sistemi di funzioni ortonormali; spazi di Hilbert e operatori lineari; operatori hermitiani e autoaggiunti;  problema agli autovalori; problema di Sturm-Liouville (6 ore).
Equazione d'onda in tre dimensioni spaziali: onde piane; onde sferiche; separazione di variabili; polinomi e funzioni associate di Legendre; armoniche sferiche; equazione di Bessel e  funzioni di Bessel; cenni alla funzione gamma e sue proprietà (8 ore).
Distribuzioni e funzioni di Green: cenni di teoria delle distribuzioni; funzioni di Green per equazioni differenziali lineari; causalità; delta di Dirac in tre dimensioni (5 ore).
Equazione di Laplace: rappresentazione integrale per il potenziale elettrostatico; funzione di Green per l'operatore di Laplace;  problema di Dirichlet; cenni al metodo delle differenze finite; problema di Neumann (6 ore).
Equazione di diffusione: problemi in una dimensione spaziale; teorema di massimo-minimo;  problema ai valori iniziali e sua soluzione generale; teorema dei valori estremi; problemi in tre dimensioni spaziali (4 ore).

Bibliografia

- G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Academic Press, San Diego, 2005)
- S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers (Dover, New York, 1982)
- P. C. Matthews, Vector Calculus (Springer, London, 1998)
- E. C. Zachmanoglou and D. W. Thoe, Introduction to Partial Differential Equations with Applications (Dover, New York, 1986)

Modalità d'esame

prova scritta e orale