I gruppi sono uno strumento matematico per misurare la simmetria. Come tali hanno un ruolo fondamentale non solo in matematica, ma anche in fisica, chimica, crittografia e teoria dei codici.

La teoria dei gruppi finiti è culminata nel 2004 con il completamento della classificazione dei gruppi semplici finiti (CGSF), cioè degli elementi irriducibili della teoria. Iniziata verso la fine degli anni ’50 del secolo scorso, la CGSF ha coinvolto centinaia di matematici (tra cui le medaglie Fields J. Thompson ed E. Bombieri ed i premi Cole W. Feit e M. Aschbacher). L’importanza scientifica della CGSF, la mole (oltre 15.000 pagine), la complessità e la sua dimostrazione e hanno reso evidente fin da subito la necessità di un’opera di revisione e di riorganizzazione. Attualmente sono in corso tre progetti internazionali di revisione, con due dei quali abbiamo collaborazioni attive. La nostra ricerca riguarda in particolare alcuni grandi gruppi sporadici, che sono i 26 casi eccezionali della CGSF.

Con C. Franchi dell’Università Cattolica e R. Solomon dell’Ohio State University, abbiamo dato una caratterizzazione locale dei gruppi di Lyons ed Harada-Norton, in linea con un progetto iniziato da D. Gorenstein e R. Lyons per una caratterizzazione intrinseca dei grandi gruppi sporadici, funzionale al progetto di revisione coordinato da Lyons e R. Solomon.

Con S. Shpectorov e C. Parker, dell’Università di Birmingham, e Franchi, stiamo studiando una geometria locale associata al gruppo di Thompson al fine di dare una dimostrazione computer-free della sua unicità.

Infine, con A.A. Ivanov dell’Imperial College e Franchi abbiamo in corso un progetto per lo studio delle rappresentazioni del Mostro, il più grande dei gruppi sporadici (e, con le parole di sir M. Atyiah, un’altra medaglia Fields, “the most interesting outcome of the classification”). Il Mostro può essere realizzato come gruppo di simmetrie dell’algebra di Griess, che è un’algebra euclidea commutativa non associativa di dimensione 196884, corrispondente al termine di grado 2 della Monster algebra, una vertex operator algebra (VOA) costruita nel 1988 da I. Fraenkel, J. Lepowsky e A. Meurman per studiare la congettura del Monstrous Moonshine (congettura risolta poi, nel 1992, da R. E. Borcherds che, per questo, ottenne la medaglia Fields). Nel 1996 M. Myamoto ha dimostrato che, in generale, le componenti di grado 2 delle VOA reali ammettono dei generatori idempotenti (i vettori di Ising) cui sono associati particolari automorfismi involutori (involuzioni di Myamoto) che, nel caso dell’algebra di Griess, coincidono con le involuzioni di classe 2A del Mostro (cioè le involuzioni aventi come centralizzante il ricoprimento doppio del Baby Mostro). Nel 2007 S. Sakuma ha dimostrato che, in generale, un’algebra generata da due vettori di Ising è isomorfa ad una delle 9 sottoalgebre diedrali dell’algebra di Griess, classificate da S. Norton nel 1996. Questo risultato spinse Ivanov ad introdurre nel 2009 i concetti astratti di algebra di Majorana e di rappresentazione di Majorana per fornire una struttura assiomatica, indipendente dalle VOA (che, al momento, sono comprese in modo molto parziale), per lo studio del Mostro. Il nome discende dal fatto che le regole di fusione di queste algebre sono le medesime delle VOA associate al modello di Ising in due dimensioni, ovvero al modello reticolare dei fermioni di Majorana liberi.

In questo contesto abbiamo ottenuto importanti risultati sulle rappresentazioni di Majorana del gruppo di Harada-Norton e dei gruppi simmetrici. Una delle maggiori difficoltà, in questo studio, è dovuta alle grandezze dei gradi di queste rappresentazioni, che rendono inutilizzabili i metodi tradizionali dell’algebra lineare. Per poter superare questo ostacolo, abbiamo usato metodi di combinatoria algebrica (association schemes) estendendone alcuni importanti concetti e risultati (first eigenmatrix, relazioni di ortogonalità).

Il gruppo di ricerca, inoltre, organizza da più di dieci anni, una scuola estiva sui gruppi semplici finiti che, a cadenza biennale attrae partecipanti da università di tutto il mondo (tra cui Oxford, Cambridge, Imperial College, Birmingham, Warwick, Halle-Wittenberg, Western Australia, Caltech e Southern California) ed è stata un trampolino di lancio per la carriera universitaria di molti di loro.