Le geometrie non euclidee

Docente: prof.ssa Giovanna D’Agostino

Obiettivo del laboratorio è la presentazione delle geometrie non euclidee attraverso l’analisi delle proprietà geometriche del semipiano di Poincaré, confrontate con le proprietà del piano euclideo.

Il Laboratorio è introdotto da un seminario storico tenuto dalla titolare del laboratorio, svolto nelle scuole che partecipano al progetto; in questo seminario è stata presentata la storia delle geometrie non euclidee, attraverso la vita e le opere dei principali attori della rivoluzione non euclidea: Saccheri, Gauss, Lobacewskij, Bolyai, Poincaré etc, con la descrizione del dirompente impatto che queste geometrie hanno avuto sulla comunità scientifica nel tempo. La presentazione storica si propone di far comprendere ai ragazzi come la matematica non sia, e non sia mai stata, un sapere consolidato e assoluto, privo di rivoluzioni, capovolgimenti e personalità visionarie, ma un ambito dove la fantasia e la capacità di sollevarsi da schemi precostituiti fa la differenza tra il sapere ortodosso e la scoperta di nuovi campi d’indagine.

Il percorso vero e proprio è iniziato qualche settimana dopo il seminario, per dare il tempo alle insegnanti di Matematica e Fisica di svolgere un breve ripasso di geometria euclidea per i ragazzi coinvolti nel laboratorio. Nel seguito si è lavorato principalmente nei laboratori di informatica (sia all’Università che nelle scuole coinvolte, esaminando le proprietà del modello della geometria iperbolica noto come semipiano di Poincaré. Questo modello è stato “esplorato” attraverso l’uso di strumenti iperbolici sviluppati nel software Geogebra dal dott. Corrado Lanera, uno studente della laurea magistrale in Matematica che collabora al progetto (vedi allegati). Questi strumenti hanno premesso di disegnare rette e segmenti iperbolici, misurare le distanze e gli angoli iperbolici, costruire rette perpendicolari, angoli e segmenti di una data misura in un contesto dinamico. Gli insegnanti sono stati coinvolti attivamente ed hanno avuto un’opportunità di crescita professionale anche attraverso la conoscenza del software matematico.

I ragazzi che hanno partecipato al laboratorio, scelti dopo il seminario introduttivo in base all’interesse e su segnalazione degli insegnanti di Matematica e Fisica, sono stati divisi in piccoli gruppi di due/tre studenti per computer. La scoperta delle proprietà iperboliche, mediata dall’uso del software, è stata guidata da schede preparate dalla titolare del laboratorio in collaborazione con le insegnanti di Matematica e Fisica. In queste schede sono state analizzate le proprietà relative a: parallelismo e perpendicolarità fra rette, congruenza per i triangoli, difetto dei triangoli, distanze fra rette parallele, quadrilateri di Saccheri e rette asintotiche.

Alla fine del percorso di laboratorio è stata messa in risalto l’esigenza di una verifica certa delle nuove proprietà, aprendo in modo naturale la strada al metodo assiomatico. Il laboratorio si è concluso quindi con una fase di ripensamento sulle proprietà geometriche considerate, l’introduzione degli assiomi e la dimostrazione di alcuni teoremi fondamentali della geometria iperbolica, quali “la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre strettamente minore di 180”.

L’attività è stata completata con una lezione sulla preparazione di strumenti geometrici in Geogebra, tenuta dal dott. Corrado Lanera e da un seminario sui rapporti fra geometria euclidea e spazio fisico tenuto dal Prof. Sebastiano Sonego.

I ragazzi che hanno partecipato al Laboratorio hanno illustrato alla fine del percorso i contenuti del laboratorio ai compagni di istituto.