Docenti

Prof. Fabio Zanolin fabio.zanolin@uniud.it
Prof. Giovanni Panti giovanni.panti@uniud.it

Crediti

6 CFU

Finalità

Finalità: Fornire agli studenti un corso di base sui sistemi dinamici continui e discreti, sia dal punto di vista analitico-topologico che da quello della teoria della misura.

Programma

** Prima parte: Sistemi dinamici continui **
Modelli matematici che portano a considerare sistemi dinamici continui.
Equazioni differenziali ordinarie, proprieta' delle soluzioni (riepilogo sulla teoria fondamentale delle ODEs).
Concetti fondamentali: orbite, punti di equilibrio, punti periodici, insiemi limite e loro proprieta', insiemi invarianti.
Stabilita' dei punti di equilibrio. Stabilita' asintotica.
Teoremi di stabilita' di Liapunov e sviluppi recenti della teoria della stabilita'.
Esempi e applicazioni alle equazioni differenziali.
Integrali primi di un sistema. Sistemi conservativi, Sistemi Hamiltoniani.

Teorema di Liouville e mappe associate ad un sistema dinamico che preservano la misura di Lebesgue.

Teorema di ricorrenza di Poincaré e alcune sue applicazioni alla teoria dei numeri e alla meccanica celeste.

** Seconda parte: Teoria ergodica **
Richiami di teoria della misura. Misure invarianti e il teorema di Krylov-Bogolioubov. Esempi di sistemi misurabili discreti. Sistemi coniugati e semiconiugati; dinamica simbolica. I teoremi ergodici di von Neumann e di Birkhoff. Sistemi ergodici in algebra e in teoria dei numeri. Equidistribuzione.

Bibliografia

Walters, An introduction to ergodic theory, Springer.
Einsiedler-Ward, Ergodic theory with a view towards number theory, Springer

Modalità d'esame

Esame orale.